Het rekenen met machten heet machtsverheffen. Een macht heeft een grondtal en een exponent. Je vermenigvuldigt dan een getal een aantal keren met zichzelf. Bij een negatieve macht gaat dit net iets anders. Je berekent dan het omgekeerde van de positieve macht.
Het grondtal is het getal waarvan je de macht neemt. De exponent is het getal dat aangeeft hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd.
Zo is 23 = 2 x 2 x 2 = 8.
Je spreekt de macht van de vorm 23 uit als 'twee-tot-de-derde-macht' of als 'twee-tot-de-macht-drie'. Van de macht 23 is het grondtal 2 en de exponent 3.
Machten van het grondtal 2 zijn te schrijven als: 21, 22, 23, 24, ...
Oefenen: machten berekenen
Machtsverheffen
Bij het rekenen met machten vermenigvuldig je een getal een aantal keren met zichzelf.
Een macht is opgebouwd uit een grondtal en een exponent.
Het grondtal staat op de 'grond' en de exponent 'hangt' er net iets boven.
De exponent geeft aan hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd.
Van de macht 43 is het grondtal 4 en de exponent 3.
Dus 43 = 4 x 4 x 4 = 64. Spreek uit als 'vier-tot-de-macht-drie'.
Je ziet dat een macht een verkorte schrijfwijze is van een vermenigvuldiging.
Om te onthouden:
|
grondtal exponent = uitkomst |
Een macht is een verkorte schrijfwijze van een keersom.
Met een positieve macht wordt bedoeld dat de exponent positief, dus groter dan nul is.
Bij een negatieve macht is de exponent kleiner dan nul. De berekening gaat dan net iets anders.
Positieve machten
Voorbeelden:
- 23 = 2 x 2 x 2 = 8
- 43 = 4 x 4 x 4 = 64
- 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
- 101 = 10
- 102 = 10 x 10 = 100
Het rekenen met machten heet machtsverheffen.
Gelijke grondtallen
Je mag de exponenten optellen als de grondtallen gelijk zijn.
- 23 x 22 = 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
- 52 x 52 = 54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625
- 35 x 3-2 = 33 = 3 x 3 x 3 = 27
Bij gelijke grondtallen tel je de exponenten op.
Negatieve machten (verdieping)
In de wiskunde wordt er vaak met negatieve machten gerekend. Je deelt dan door de positieve macht. Dat doe je door er een breuk van te maken. Een breuk stelt eigenlijk een deelsom voor. Het horizontale lijntje betekent dan ook 'gedeeld door'.
Voorlopig mag je aannemen dat dit zo is. Bij de wiskunde leer je (later) het waarom.
Voorbeeld:
| 1 | 1 | |||
| 3-2 | = | ---- | = | ---- |
| 32 | 9 |
Spreek de macht 3-2 uit als 'drie-tot-de-macht-min-twee'.
Hier staat dat je het getal 1 deelt door 32. Het minteken voor de exponent laat je dan weg.
Dus 3-2 wordt 1 : 32 = 1 : 3 : 3 = 1 : 9.
Je deelt dus het getal 1 een aantal keren door het grondtal.
Van een negatieve maak je een positieve macht, door er een deelsom van te maken.
Zo is:
- 2-2 = 1 : 22 = 1 : 4 = 0,25
- 10-1 = 1 : 101 = 1 : 10 = 0,1
- 10-2 = 1 : 102 = 1 : 10 : 10 = 1 : 100 = 0,01
Bijzondere gevallen
Onthoud:
- 40 = 1, een getal 'tot-de-macht-nul' is altijd 1.
- 51 = 5, een getal 'tot-de-macht-één' blijft hetzelfde getal.
- 19 = 1, het getal 1 'tot-een-willekeurige-macht' is altijd 1.
Leer de eigenschappen van machten uit het hoofd.
Berekening vereenvoudigen
Splits een macht in kleinere machten om de berekening te vereenvoudigen.
De grondtallen blijven gelijk.
- 25 = 22 x 23 = 4 x 8 = 32
- 28 = 23 x 25 = 8 x 32 = 256
- 28 = 24 x 24 = 16 x 16 = 256
- 105 = 102 x 103 = 100 x 1000 = 100 000
Machten van twee zijn: 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256 - 512 - 1024 - enz.
Weetje: Computers rekenen veelal met machten van twee.
Kwadrateren
Kwadrateren is het tot de tweede macht verheffen:
- 22 = 2 x 2 = 4
- 52 = 5 x 5 = 25
Inhoud van een kubus
Om de inhoud van een kubus te berekenen, neem je de derde macht van de zijde (ribbe).
Inhoud = zijde x zijde x zijde.
Figuur 1: kubus
|
Meer over inhoud in het domein Meetkunde.
Groeifactor (verdieping)
Aantal waterlelies als raadsel
Stel je een vijver voor met waterlelies. Elke dag verdubbelt het aantal lelies zich.
Op dag 14 is de hele vijver bedekt met lelies. Op welke dag is de helft van de vijver bedekt?
Veel mensen geven als antwoord de helft van veertien dagen. Dus dag zeven zal wel het antwoord zijn.
Vraag: Is dit antwoord juist?
(Antwoord: Op één dag vóór dag veertien is de vijver halfvol. Dus dag dertien is het enige juiste antwoord.)
Uitleg raadsel:
Bij een verdubbeling heb je te maken met machten van het grondtal twee. De groeifactor is twee, dus gelijk aan het grondtal. Voor de exponent vul je het aantal dagen groei in.
Dus aantal waterlelies = 2aantal dagen = 2 x 2 x 2 x ...
Bij elke dag verder komt er keer een factor 2 bij.
Als je op dag 1 begint met twee lelies, dan zijn dat er na 14 dagen: 214 = 16.384 lelies. Een groei die tot de verbeelding spreekt!
Opmerkingen
Men zegt 'grondtal' en niet 'grondgetal'.
De begrippen 'macht' en 'exponent' zijn soms best verwarrend. Je zegt namelijk niet 'tot-de-zoveelste-exponent'.
Het rekenen met negatieve machten is voor een breder inzicht als verdiepingsstof toegevoegd. Hetzelfde geldt voor de groeifactor.
© 2012 - 2024 MijnRekensite.nl