Het rekenen met machten heet machtsverheffen. Een macht heeft een grondtal en een exponent. Je vermenigvuldigt dan een getal een aantal keren met zichzelf.

Het grondtal is het getal waarvan je de macht neemt. De exponent is het getal dat aangeeft hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd.

Zo is 2³ = 2 x 2 x 2 = 8.

Je spreekt de macht van de vorm 2³ uit als 'twee-tot-de-derde-macht' of als 'twee-tot-de-macht-drie'. Van de macht 2³ is het grondtal 2 en de exponent 3.

Machten van het grondtal 2 zijn te schrijven als: 2¹, 2², 2³, 2⁴, ...

Oefenen: machten berekenen

 

Machtsverheffen

Een macht is opgebouwd uit een grondtal en een exponent.

Het grondtal staat op de 'grond' en de exponent 'hangt' er net iets boven.

De exponent geeft aan hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd.

Van de macht 4³ is het grondtal 4 en de exponent 3.

Dus 4³ = 4 x 4 x 4 = 64. 

Je ziet dat een macht een verkorte schrijfwijze is van een vermenigvuldiging.

 

Om te onthouden:

 

Een macht is een verkorte schrijfwijze van een keersom.

 

Met een positieve macht wordt bedoeld dat de exponent positief, dus groter dan nul is.

Bij een negatieve macht is de exponent kleiner dan nul. De berekening gaat dan net iets anders.

 

Positieve machten

Voorbeelden:

• 2³ = 2 x 2 x 2 = 8
• 4³ = 4 x 4 x 4 = 64
• 3⁴ = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
• 10¹ = 10
• 10² = 10 x 10 = 100

 

Het rekenen met machten heet machtsverheffen.

 

Gelijke grondtallen 

Je mag de exponenten optellen als de grondtallen gelijk zijn.

• 2³ x 2² = 2⁵ = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
• 5² x 5² = 5⁴ = 5 x 5 x 5 x 5 = 625
• 3⁵ x 3^-2 = 3³ = 3 x 3 x 3 = 27

 

Bij gelijke grondtallen tel je de exponenten op.

 

Negatieve machten (verdieping)

Een negatieve macht reken je uit door er een breuk van te maken. Een breuk stelt een deelsom voor. De horizontale lijn betekent 'gedeeld door'.

Voorlopig mag je aannemen dat dit zo is. Bij de wiskunde leer je (later) het waarom.

Voorbeeld:

 

Hier staat dat je het getal 1 deelt door 3². Het min-teken voor de exponent laat je dan weg.

Dus 3^-2 wordt 1 : 3² = 1 : 9.

 

Door een deelsom te maken, maak je van een negatieve een positieve macht.

 

Zo is:

• 2^-2 = 1 : 2² = 1 : 4 = 0,25
• 10^-1 = 1 : 10¹ = 1 : 10 = 0,1
• 10^-2 = 1 : 10² = 1 : 100 = 0,01

 

Bijzondere gevallen

Onthoud:

• 4⁰ = 1, een getal 'tot-de-macht-nul' is altijd 1.
• 5¹ = 5, een getal 'tot-de-macht-één' is hetzelfde getal.
• 1⁹ = 1, het getal 1 'tot-een-willekeurige-macht' is altijd 1.

 

Leer de eigenschappen van machten uit het hoofd.

 

Berekening vereenvoudigen

Splits een macht in kleinere machten om de berekening te vereenvoudigen.

De grondtallen blijven gelijk.

• 2⁵ = 2² x 2³ = 4 x 8 = 32
• 2⁸ = 2³ x 2⁵ = 8 x 32 = 256
• 2⁸ = 2⁴ x 2⁴ = 16 x 16 = 256
• 10⁵ = 10² x 10³ = 100 x 1000 = 100 000

 

Machten van twee zijn: 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 - 256 - 512 - 1024 - enz.

 

Kwadrateren

Kwadrateren is het tot de tweede macht verheffen:

• 2² = 2 x 2 = 4
• 5² = 5 x 5 = 25

 

Inhoud van een kubus

Om de inhoud van een kubus te berekenen, neem je de derde macht van de zijde (ribbe).

 

Figuur 1: kubus

Meer over inhoud in het domein Meetkunde.

 

Groeifactor (verdieping)

Aantal waterlies als raadsel

Stel je een vijver voor met waterlelies. Elke dag verdubbelt het aantal lelies zich.

Op dag 14 is de hele vijver bedekt met lelies. Op welke dag is de helft van de vijver bedekt?

Veel mensen geven als antwoord de helft van veertien dagen. Dus dag zeven zal wel het antwoord zijn.

 

Vraag: Is dit antwoord juist?

(Antwoord: Op één dag vóór dag veertien is de vijver halfvol. Dus dag dertien is het enige juiste antwoord.)

 

Uitleg raadsel

Bij een verdubbeling heb je te maken met machten van het grondtal twee. De groeifactor is twee, dus gelijk aan het grondtal. Voor de exponent vul je het aantal dagen groei in.

Dus aantal waterlelies = 2^{aantal dagen} = 2 x 2 x 2 x ... 

Bij elke dag verder komt er keer een factor 2 bij.

Als je op dag 1 begint met twee lelies, dan zijn dat er na 14 dagen: 2¹⁴ = 16.384 lelies. Een groei die tot de verbeelding spreekt!

 

Opmerkingen

Men zegt 'grondtal' en niet 'grondgetal'.

De begrippen 'macht' en 'exponent' zijn soms best verwarrend. Je zegt namelijk niet 'tot-de-zoveelste-exponent'.

Het rekenen met negatieve machten is voor een breder inzicht als verdiepingsstof toegevoegd. Hetzelfde geldt voor de groeifactor.

 

© 2022 MijnRekensite.nl